Question

設等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項的和為97²，則這樣的數(shù)列共有（ ）
A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：設首項為a，公差為d，項數(shù)為n，則各項和為na+n（n-1）d=97²，所以n[2a+（n-1）d]=2×97²，即n為2×97²的大于3的約數(shù)．由于數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)分類討論可得答案．
解答：解：設首項為a，公差為d，項數(shù)為n，則各項和為na+n（n-1）d=97²，
所以n[2a+（n-1）d]=2×97²，即n為2×97²的大于3的約數(shù)．又2×97²的大于3的約數(shù)共有1、2、97、2×97、97²、2×97²分別進行討論：
（1）若n=97²，則2a+（97²-1）d=2，由于數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，若d=0，可得a=1；若d≥1則a＜0不合題意，故有一解；
（2）同理若n=97，則2a+96d=194，若d=0，則a=97；若d=1，則a=49；d若=2，則a=1．故有三解；
（3）同理若n=2×97，或n=2×97²，無解．
（4）若n=1，或2時，n＜3不合題意．故符合題意的共4種情況．
故選C
點評：本題以等差數(shù)列為載體考查分類討論及數(shù)列的求和問題，屬中檔題．