Question

函數f（x）=sinx．
（1）令f₁（x）=f′（x），f_n+1（x）=f_n′（x），（n∈N^*），求f₂₀₁₄（x）的解析式；
（2）若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）問中利用函數的周期性不難求出；（Ⅱ）問中先將不等式轉化成函數利用導數，討論a，進而求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得：f₁（x）=cosx，f₂（x）=-sinx，f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx，…，周期為4，
∴f₂₀₁₄（x）=f_503×4+2（x）=f₂（x）=-sinx．
（Ⅱ）設g（x）=sinx+1-ax-cosx，g′（x）=cosx-a+sinx=

2

sin（x+

π

4

）-a．
∵x∈[0，π]，∴

2

sin（x+

π

4

）∈[-1，

2

]．
當a≤-1時，g′（x）≥0在[0，π]上恒成立，
∴g（x）≥g（x）_min=g（0）=0成立，
故a≤-1；
當a≥

2

時，g′（x）≤0在[0，π]上恒成立，g（x）=g（π）=2-πa≥0，得a≤

2

π

，無解．
當-1＜a＜

2

時，則存在x₀∈（0，π]使得x∈（0，x₀）時，g（x）是增函數，x∈（x₀，π]時，g（x）是減函數，
故g（x）_min=g（0），或g（x）_min=g（π），
∴

g(0)≥0 g(π)≥0

，解得：a≤

2

π

，
故-1＜a≤

2

π

．
綜上所述：a≤

2

π

．

點評：本題是一道關于導數應用的綜合型題目，不管問題怎么變化，關于導數最基本的知識點要牢牢掌握．