Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的離心率e=

1

2

．直線x=t（t＞0）與曲線E交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，且△ABC的面積為

5

2

，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中橢圓

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的離心率e=

1

2

．構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程求出a值，可得橢圓E的方程；
（2）由已知設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（t，0），聯(lián)立橢圓的方程，可得圓心C的半徑r=

12-3t2

2

，利用勾股定理可得弦長|AB|，最后結(jié)合△ABC的面積為

5

2

，可求出t值，進(jìn)而得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的離心率e=

1

2

，
∴

a2-3

a

=

1

2

．解得a=2．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由圓C的一條直徑MN，是直線x=t（t＞0）被曲線E所截弦
故可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（t，0）（0＜t＜2）
由

x=t x2 4 + y2 3 =1

得y²=

12-3t2

4

∴圓心C的半徑r=

12-3t2

2

∵圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，
∴0＜t＜

12-3t2

2

，即0＜t＜

2 21

7

∴弦長|AB|=2

r2-a2

=2

12-3t2 4 -t2

=

12-7t2

∴△ABC的面積S=

1

2

t•

12-7t2

=

5

2

解得t=1或t=

35

7

∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=

9

4

或(x-

35

7

)2+y2=

69

28

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，弦長公式，是解析幾何的綜合應(yīng)用，難度較大．