Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，是否存在，使得為偶函數(shù)，如果存在，請舉例并證明，如果不存在，請說明理由；

（2）若，判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）已知，存在，對任意，都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；

（3）.

【解析】

（1）將代入證明為偶函數(shù)即可。

（2）代入，先判斷函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)定義法代入作差即可證明為單調(diào)遞減函數(shù)。

（3）去絕對值化簡不等式，根據(jù)全稱命題與特稱命題的成立關(guān)系可得，分兩段不等式求解即可。

（1）存在使為偶函數(shù)，

此時：，

證明：的定義域為關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且

為偶函數(shù)。

（2），且，，

在上為減函數(shù)

證明：任取，且，

，即

在上為減函數(shù)

（3）,,

對任意，存在，使得成立，

即存在，使得，

當(dāng)時，為增函數(shù)或常函數(shù)，

此時，則有恒成立

當(dāng)時，

當(dāng)時，

綜上所述：.