Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{1}{2}$，且過點(diǎn)（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)A、B兩點(diǎn)不關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，試探求△MAB能否為等邊三角形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C的離心率為e=$\frac{1}{2}$，且過點(diǎn)（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{9{a}^{2}}+\frac{13}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得即可；
（2））（i）當(dāng)AB∥x軸時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立可得兩個(gè)△MAB為等邊三角形；
（ii）當(dāng)AB與x軸不平行也不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀），直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得：（9+12k²）x²+24kmx+12m²-40=0，由△＞0，得到9m²＜30+40k²．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：N$（\frac{-12km}{9+12{k}^{2}}，\frac{9m}{9+12{k}^{2}}）$．又M（0，1），若△MAB為等邊三角形，則k_MN•k=-1，化為m=-3-4k²．代入△＞0，化為144k⁴+176k²+51＜0，看此方程是否有解即可．

解答 解：（1）∵橢圓C的離心率為e=$\frac{1}{2}$，且過點(diǎn)（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{9{a}^{2}}+\frac{13}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得b²=$\frac{10}{3}$，a²=$\frac{40}{9}$．
∴橢圓C的方程為：$\frac{9{x}^{2}}{40}+\frac{3{y}^{2}}{10}=1$．
（2）（i）當(dāng)AB∥x軸時(shí)，直線AM的斜率為$\sqrt{3}$，方程為y=$\sqrt{3}$x+1，與橢圓方程聯(lián)立可得兩個(gè)△MAB為等邊三角形；
（ii）當(dāng)AB與x軸不平行也不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9{x}^{2}}{40}+\frac{3{y}^{2}}{10}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y可得：（9+12k²）x²+24kmx+12m²-40=0，由△＞0，得到9m²＜30+40k²．
∴x₁+x₂=$\frac{-24km}{9+12{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{18m}{9+12{k}^{2}}$，
解得N$（\frac{-12km}{9+12{k}^{2}}，\frac{9m}{9+12{k}^{2}}）$．又M（0，1），
若△MAB為等邊三角形，則k_MN•k=-1，
∴$\frac{\frac{9m}{9+12{k}^{2}}-1}{\frac{-12km}{9+12{k}^{2}}-0}$×k=-1，化為m=-3-4k²．
代入△＞0，化為144k⁴+176k²+51＜0，
但是${k}_{1}^{2}+{k}_{2}^{2}$=-$\frac{176}{144}$，因此無解．
綜上可得：只有當(dāng)AB∥x軸時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立可得兩個(gè)△MAB為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．