Question

（2013•韶關(guān)一模）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，若a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅
（1）求數(shù)列{b_n}的公比q；
（2）將數(shù)列{a_n}，{b_n}中的公共項(xiàng)按由小到大的順序排列組成一個(gè)新的數(shù)列{c_n}，是否存在正整數(shù)λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）使得λ，μ，ω和c_λ+λ，c_μ+μ，c_ω+ω均成等差數(shù)列？若存在，求出λ，μ，ω的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè){b_n}的公比為q，依題意，由

aq2=a+2d aq4=a+6d

可求得q=±

2

；
（2）若{a_n}與{b_n}有公共項(xiàng)，不妨設(shè)a_n=b_m，由于m為奇數(shù)，且n=2

m+1

2

-1，令m=2k-1（k∈N^*），可求得b_m=a•2^k-1，于是有c_n=2^n-1a，假設(shè)存在正整數(shù)λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）滿足題意，設(shè)p=λ，q=μ，r=ω則

2q=p+r 2(a•2q-1+q)=(a•2p-1+p)+(a•2r-1+r)

，利用基本不等式可求得q＞

p+r

2

，與題設(shè)q=

p+r

2

矛盾，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè){b_n}的公比為q，由題意

aq2=a+2d aq4=a+6d

，即

aq2-a=2d aq4-a=6d

---------------------------------------------（2分）
q=1不合題意，故

q2-1

q4-1

=

1

3

，解得q²=2，
∴q=±

2

----------------（4分）
（2）若{a_n}與{b_n}有公共項(xiàng)，不妨設(shè)a_n=b_m，
由（2）知：m為奇數(shù)，且n=2

m+1

2

-1，
令m=2k-1（k∈N^*），則b_m=a•(

2

)2k-1-1=a•2^k-1，
∴c_n=2^n-1a---------------------------------------------------------------（12分）
若存在正整數(shù)λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）滿足題意，
設(shè)p=λ，q=μ，r=ω則

2q=p+r 2(a•2q-1+q)=(a•2p-1+p)+(a•2r-1+r)

，
∴2^q=2^p-1+2^r-1，又2^p-1+2^r-1≥2

2p+r-2

=2

p+r

2

（當(dāng)且僅當(dāng)p=r時(shí)取“=”）
又p≠r，
∴又2^p-1+2^r-1＞2

p+r

2

----------------------（14分）
又y=2^x在R上增，
∴q＞

p+r

2

．與題設(shè)q=

p+r

2

矛盾，
∴不存在λ，μ，ω滿足題意．------------------------------------------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查方程思想與運(yùn)算求解的能力和推理論證的能力，屬于難題．