Question

方程x⁵+x-3=0有多少個(gè)實(shí)數(shù)解？你能證明自己的結(jié)論嗎？如果方程有解，請求出它的近似解（精確到0.1）．

Answer 1

解：考查函數(shù)f（x）=x⁵+x-3，
∵f（1）=-1＜0，f（2）=31＞0，
∴函數(shù)f（x）=x⁵+x-3在區(qū)間（1，2）有一個(gè)零點(diǎn)x₀．
∵函數(shù)f（x）=x⁵+x-3在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴方程x⁵+x-3=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)有唯一的實(shí)數(shù)解．
取區(qū)間（1，2）的 中點(diǎn)x₁=1.5，用計(jì)算器算得f（1.5）≈6.09＞0，∴x₀∈（1，1.5）．
同理，可得x₀∈（1，1.25），x₀∈（1.125，1.25），x₀∈（1.125，1.1875），x₀∈（1.125，1.156 25），x₀∈（1.125，1.1406 25）．
由于|1.1406 25-1.125|＜0.1，此時(shí)區(qū)間（1.125，1.1406 25）的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.1的近似值都是1.1．
分析：先證明方程x⁵+x-3=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解，可先函數(shù)f（x）=x⁵+x-3在（1，2）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，再結(jié)合根的存在性定理即可．求解可用二分法．
點(diǎn)評：本題考查根的存在性定理、用二分法求根，考查計(jì)算能力．