Question

橢圓的內接矩形的最大面積的取值范圍是[3b²，4b²]，則該橢圓的離心率e的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：在第一象限內取點（x，y），設x=acosθ，y=bsinθ，表示出圓的內接矩形長和寬，可得矩形的面積，由3b²≤2ab≤4b²，求得3b≤2a≤4b，平方后，可得a和c的不等式關系，即可求出離心率e的范圍．
解答：在第一象限內取點（x，y），設x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）
則橢圓的內接矩形長為2acosθ，寬為2bsinθ，
內接矩形面積為2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b²≤2ab≤4b²，∴3b≤2a≤4b，
平方得：9b²≤4a²≤16b²，
9（a²-c²）≤4a²≤16（a²-c²），
5a²≤9c²且12a²≥16c²，
∴≤≤
即e∈
故選B．
點評：本題考查了橢圓的簡單性質，考查橢圓的參數方程的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．