Question

設(shè)橢圓E：的離心率為e=，點P是橢圓上的一點，且點P到橢圓E兩焦點的距離之和為．
（I）求橢圓E的方程；
（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在說明理由．

Answer 1

解：（I）依題意知，，∴．----------（1分）
∵，∴．---------------（3分）
∴所求橢圓E的方程為．----------（4分）
（II）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，
設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m----------（5分）
代入橢圓方程，消去y可得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，----------------（6分）
則△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，x₁+x₂=-，x₁x₂=，-------------------（7分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
要使，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即，-------------------（9分）
所以3m²-8k²-8=0，所以-------------------（10分）
又8k²-m²+4＞0，所以，∴或，
因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為，
即：，∴r=，∴所求的圓的方程為：，-------------（12分）
而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為（，）或滿足．-----------------（13分）
綜上所述，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且．----------------（14分）
分析：（I）根據(jù)離心率為e=，點P是橢圓上的一點，且點P到橢圓E兩焦點的距離之和為，求出幾何量，從而可求橢圓E的方程；
（II）先假設(shè)存在，設(shè)該圓的切線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及，可確定m的范圍及所求的圓的方程，驗證當(dāng)切線的斜率不存在時，結(jié)論也成立．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查 直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．