Question

16．f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$的遞增區(qū)間為（-∞，-1），和[-1，0）．

Answer 1

分析 設(shè)t=x²-1，利用函數(shù)y=$\frac{1}{t}$和一元二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)t=x²-1，則y=$\frac{1}{t}$在（0，+∞）和（-∞，0）上為減函數(shù)，
由t=x²-1＞0得x＞1或x＜-1，則當(dāng)x＞1時，函數(shù)t=x²-1為增函數(shù)，而y=$\frac{1}{t}$為減函數(shù)，此時f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$為減函數(shù)，
則當(dāng)x＜-1時，函數(shù)t=x²-1為減函數(shù)，而y=$\frac{1}{t}$為減函數(shù)，此時f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$為增函數(shù)，對應(yīng)的增區(qū)間為（-∞，-1），
由t=x²-1＜0＞0得-1＜x＜1，則當(dāng)0≤x＜1時，函數(shù)t=x²-1為增函數(shù)，而y=$\frac{1}{t}$為減函數(shù)，此時f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$為減函數(shù)，
則當(dāng)-1＜x≤0時，函數(shù)t=x²-1為減函數(shù)，而y=$\frac{1}{t}$為減函數(shù)，此時f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$為增函數(shù)，對應(yīng)的增區(qū)間為[-1，0），
綜上函數(shù)的遞增區(qū)間為（-∞，-1），和[-1，0）．
故答案為：（-∞，-1），和[-1，0）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．