Question

5．己知集合p={x∈R|x²-3x+b=0}，Q={x∈R|（x+1）（x²+3x-4=0}
（1）若b=4時，存在集合M，使得P?M?Q，求出這樣的集合M；
（2）P是否能成為Q的一個子集？若能．求b的取值或取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出方程x²-3x+4=0的判別式△后即求出AP，再求出（x+1）（x²+3x-4）=0的根即求出Q，再由條件列出集合Q的非空子集即為集合M．
（2）分類討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由于方程x²-3x+4=0的判別式△=9-16=-7＜0，知P=∅，
由（x+1）（x²+3x-4）=0得，x+1=0或x²+3x-4=0，解得x=-1或1或-4，Q={-1，1，-4}，
∵P?M⊆Q，∴集合M≠∅，且其元素全屬于Q，即集合M為集合Q的非空子集：{1}或{-1}或{-4}或{-1，1}或{-1，-4}或{1，-4}．
（2）Q={-1，1，-4}，P⊆Q
P=∅，△=9-4b＜0，∴b＞$\frac{9}{4}$；
△=0，P={$\frac{3}{2}$}?Q；
∵x²-3x+b=0的兩根的和為3，Q={-1，1，-4}，∴P⊆Q不成立，
∴P⊆Q，b＞$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了集合間的包含關(guān)系和列舉法求已知集合的子集，解題的關(guān)鍵：充分把握子集、真子集的概念，準確化簡集合是解決問題的首要條件．