Question

過點(diǎn)F（1，0）的直線l交拋物線C：y²=4x于A，B兩點(diǎn)．
（1）若|AB|=8，求直線l的方程；
（2）記拋物線C的準(zhǔn)線為l，設(shè)OA，OB分別交l于M，N兩點(diǎn)，△AOB與△MON的重心分別為G，H，求|GH|的最小值．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為x=ky+1，代入拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系y₁+y₂，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2
（1）|AB|=x1+

1

2

p + x2+

1

2

p=8，代入可求k，進(jìn)而可求直線方程
（2）由重心坐標(biāo)公式可得，

x0= x1+x2 3 = 2+4k2 3 y0= y1+y2 3 = 4k 3

可求G
由直線OA的方程y=

y1

x1

x，與準(zhǔn)線相交得M（-1，-

-y1

x1

）；直線OB的方程y=

y2

x2

x，與準(zhǔn)線相交得N（-1，-

y2

x2

），從而可求H，而|GH|=x_G-x_H，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：設(shè)直線l的方程為x=ky+1，代入C：y²=4x可得y²-4ky-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4k，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2=4k²+2
（1）|AB|=x1+

1

2

p + x2+

1

2

p=4k²+2+2=8
∴k=±1
故直線l的方程為x±y-1=0
（2）由重心坐標(biāo)公式可得，

x0= x1+x2 3 = 2+4k2 3 y0= y1+y2 3 = 4k 3

∴G（

2+4k2

3

，

4k

3

）
直線OA的方程y=

y1

x1

x，與準(zhǔn)線相交得M（-1，-

-y1

x1

）
直線OB的方程y=

y2

x2

x，與準(zhǔn)線相交得N（-1，-

y2

x2

）
∴xH=-

2

3

，yH=-

1

3

(

y1

x1

+

y2

x2

)=-

1

3

•

2ky1y2 +(y1+y2)

x1x2

=

4k

3

，故H（-

2

3

，

4k

3

）
|GH|=x_G-x_H=

1

3

(4k2+4)≥

4

3

即|GH|的最小值

4

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了利用拋物線的定義求解拋物線的焦點(diǎn)弦，主要利用了焦半徑公式，三角形的重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵