設(shè)l為曲線C：y=
lnx
x
在點(diǎn)（1，0）處的切線．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方．
（I）∵y=
lnx
x

∴y′=
1-lnx
x2

∴l(xiāng)的斜率k=y′|x=1=1
∴l(xiāng)的方程為y=x-1
證明：（II）令f（x）=x（x-1）-lnx，（x＞0）
則f′（x）=2x-1-
1
x
=
(2x+1)(x-1)
x

∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞0，即
lnx
x
＜x-1
x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，即
lnx
x
＜x-1
即除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•北京）設(shè)l為曲線C：y=
lnxx
在點(diǎn)（1，0）處的切線．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P(-2
2
，0)，Q(2
2
，0)，動(dòng)點(diǎn)N（x，y），設(shè)直線NP，NQ的斜率分別記為k1，k2，記k1?k2=-
1
4
（其中“?”可以是四則運(yùn)算加、減、乘、除中的任意一種運(yùn)算），坐標(biāo)原點(diǎn)為O，點(diǎn)M（2，1）．
（Ⅰ）探求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡再加上P，Q兩點(diǎn)記為曲線C，直線l平行于直線OM，且與曲線C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（�。┤粼c(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，試求出直線l在y軸上的截距m的取值范圍．
（ⅱ）試求出△AOB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•東城區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0，
1
4
)的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大
1
4
，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，直線l：y=kx+1交曲線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）證明：曲線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（Ⅲ）若曲線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)l為曲線C：y=在點(diǎn)（1，0）處的切線．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方．

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