如圖,在四棱錐P一ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn).PA=PD=AD=2,點(diǎn)M在線段PC上 PM=
13
PC
(1)證明:PA∥平面MQB;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角M-BQ-C.
分析:(1)證明線面平行,關(guān)鍵是利用線面平行的判定定理,只要證明PA平行于平面內(nèi)的一條直線;
(2)證明MN⊥BQ,BC⊥BQ,MN∥PA,BC∥DA,從而空間角M-BQ-C 可以變成∠PAD=60°,故可求二面角M-BQ-C的平面角.
解答:(1)證明:連接AC交BQ于N,連接MN
因?yàn)?AQ∥BC,所以△ANQ∽△BNC
AQ
BC
=
AN
NC
=
1
2
,∴
AN
AC
=
1
3

∵PM=
1
3
PC,∴PA∥MN
∵PA?平面MQB,MN?平面MQB
∴PA∥平面MQB
(2)解:因?yàn)锽Q⊥AD,由于平面PAD⊥平面ABCD,所以BQ⊥PA
因?yàn)镻A∥MN 所以MN⊥BQ
又因?yàn)?BC∥AD 而 BQ⊥DA,所以BC⊥BQ
因?yàn)镸N∥PA,BC∥DA,MN⊥BQ,BC⊥BQ
∴空間角M-BQ-C的平面角等于∠PAD,
∵∠PAD=60°
∴二面角M-BQ-C的平面角為60°.
點(diǎn)評(píng):本題考查線面平行,考查面面角,解題的關(guān)鍵是利用線面平行的判定,理解面面角的定義,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=1,AD=2,PA⊥底面ABCD,PD與底面成45°角,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BE⊥PD;
(Ⅱ)求二面角P-CD-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•閘北區(qū)一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,AB=1,PA•AC=1,∠ABC=θ(0°<θ≤90°).
(1)若θ=90°,求二面角A-PC-B的大;
(2)試求四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•蘭州一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°
(Ⅰ)求證:BD⊥PC;
(Ⅱ)若PA=AB,求二面角A-PD-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•青島一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,N是PB中點(diǎn),過(guò)A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M.
(Ⅰ)求證:PD∥平面ANC;
(Ⅱ)求證:M是PC中點(diǎn);
(Ⅲ)若PD⊥底面ABCD,PA=AB,BC⊥BD,證明:平面PBC⊥平面ADMN.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•崇明縣一模)(理科)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA⊥底面ABCD,PA=4,M為PA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)B到平面PCD的距離;
(2)求二面角M-ND-A的大。

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