Question

已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使曲線C上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+m對稱？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得曲線C是以F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，由此能求出曲線C的方程．
（2）假設(shè)存在兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）關(guān)于直線l：y=x+m對稱，則PQ⊥l，k_PQ=-1，設(shè)PQ中點(diǎn)M（x₀，y₀），則y₀=x₀+m，直線PQ：y-y₀=-（x-x₀），聯(lián)立

y2=4x y-y0=-(x-x0)

，得y²+4y-4x₀-4y₀=0，由此利用根的判別式能求出存在實(shí)數(shù)m，使曲線C上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+m對稱．

解答： 解：（1）∵一條曲線C在y軸右邊，
C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1，
∴曲線C是以F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，
∴曲線C的方程為：y²=4x．（x＞0）．
（2）假設(shè)存在兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）關(guān)于直線l：y=x+m對稱，
則PQ⊥l，k_PQ=-1，
設(shè)PQ中點(diǎn)M（x₀，y₀），則y₀=x₀+m，
直線PQ：y-y₀=-（x-x₀），
聯(lián)立

y2=4x y-y0=-(x-x0)

，得y²+4y-4x₀-4y₀=0，
∴

y1+y2=-4=2y0 y1y2=-4x0-4y0

，
∴y₀=-2，y₁y₂=-4x₀+8，
∴x₀=y₀-m=-2-m，
△=16+16（x₀+y₀）=16+16（x₀-2）=16（x₀-1）
=16（-3-m）＞0，
解得m＜-3．
∴存在實(shí)數(shù)m，使曲線C上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+m對稱，m的取值范圍是（-∞，-3）．

點(diǎn)評：本題考查曲線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．