Question

14．已知數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是公差為2的等差數(shù)列，且a₁=1，則數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)得$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}+（n-1）×2$=2n-1，從而a_na_n+1=$\frac{1}{2n-1}×\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和．

解答 解：∵數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是公差為2的等差數(shù)列，且a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}+（n-1）×2$=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴a_na_n+1=$\frac{1}{2n-1}×\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．