14.已知數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是公差為2的等差數(shù)列,且a1=1,則數(shù)列{anan+1}的前n項和Tn=$\frac{n}{2n+1}$.

分析 由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)得$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}+(n-1)×2$=2n-1,從而anan+1=$\frac{1}{2n-1}×\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$),由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{anan+1}的前n項和.

解答 解:∵數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是公差為2的等差數(shù)列,且a1=1,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}+(n-1)×2$=2n-1,
∴an=$\frac{1}{2n-1}$,
∴anan+1=$\frac{1}{2n-1}×\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$),
∴Tn=$\frac{1}{2}$($1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$)
=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)
=$\frac{n}{2n+1}$.
故答案為:$\frac{n}{2n+1}$.

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意裂項求和法的合理運用.

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