Question

如果偶函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，且是周期為T=3的周期函數(shù)，且f′（1）=0，則方程f′（x）=0在區(qū)間[0，6]上的實(shí)根個(gè)數(shù)至少是（　　）

A．11

B．9

C．7

D．5

Answer 1

分析：由題意可得，函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)，故可得 f′（0）=0 且周期等于

3

2

．再由 f′（1）=0，利用函數(shù)的周期性求出方程f′（x）=0在區(qū)間[0，6]上的實(shí)根，從而得出結(jié)論．

解答：解：由偶函數(shù)f（x）的周期為T=3可得，f（x+

3

2

）=f（x-

3

2

）=f（

3

2

-x），
∴偶函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3

2

對稱，且函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)，且周期等于

3

2

．
由偶函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，知 f'（0）=f'（

3

2

）=f'（3）=0．
再由周期等于

3

2

以及 f′（1）=0，求得 f′（

5

2

）=f′（4）=f′（

9

2

）=f′（

11

2

）=f′（6）=0．
綜上，方程f′（x）=0在區(qū)間[0，6]上的實(shí)根為 x=0，

3

2

，1，

5

2

，3，4，

9

2

，

11

2

，6，共有9個(gè)，
故選 B．

點(diǎn)評：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，利用函數(shù)的奇偶性與周期性求函數(shù)的值，屬于中檔題．