如圖，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，ED=
1
2
AB，P是BC的中點．
（Ⅰ）求證：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值．
（I）證明：取AB的中點F，連接PF，EF．
又∵P是BC的中點，∴FP
∥
.
1
2
AC．
∵ED=
1
2
AB=
1
2
AC，ED∥AC，
∴FP
∥
.
ED，
∴四邊形EFPD是平行四邊形，
∴PD∥EF．
而EF?平面EAB，PD?平面EAB，
∴PD∥平面EAB．
（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．
以點A為坐標原點，直線AB為x軸，AC為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則z軸在平面EACD內(nèi)．則A（0，0，），B（2，0，0），E(0，1，
3
)，D(0，2，
3
)．
∴
EB
=(2，-1，-
3
)，
ED
=(0，1，0)．
設(shè)平面EBD的法向量
n
=(x，y，z)，由
n
•
EB
=0
n
•
ED
=0
，得
2x-y-
3
z=0
y=0
，
取z=2，則x=
3
，y=0．∴
n
=(
3
，0，2)．
可取
m
=(0，0，1)作為平面ABC的一個法向量，
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
=
2
7
=
2
7
7
．
即平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值為
2
7
7
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=2a，D，E分別為AC，AB的中點，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐A′-BCDE
（Ⅰ）在棱A′B上找一點F，使EF∥平面A′CD；
（Ⅱ）當四棱錐A'-BCDE體積取最大值時，求平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折成一個直二面角，則此時BD的長為______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)一個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為α，相鄰兩個側(cè)面所成的角為β，那么兩個角α和β的三角函數(shù)間的關(guān)系是（　�。�
A．2cos2α+3cosβ=1B．2cosα+3cos2β=1
C．3cos2α+2cosβ=1D．3cosα+2cos2β=1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=
3
AD，
（1）求證：平面SDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-SB-D的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=2，CD=
3
，AB=
3
，E、F分別為AC、AD上的動點．
（1）若
AE
EC
=
AF
FD
，求證：平面BEF⊥平面ABC；
（2）若
AE
EC
=1，
AF
FD
=2，求平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，矩形ABEF和正方形ABCD有公共邊AB，它們所在平面成60°的二面角，AB=CB=2a，BE=a，則DE=______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，AD=2，AB=1，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，設(shè)E為PC中點，點F在線段PD上且PF=2FD．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）設(shè)二面角A-CF-D的大小為θ，若|cosθ|=
42
14
，求PA的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖所示，正三棱錐中，分別是 的中點，為上任意一點，則直線與所成的角的大小是    (     )
A．B．C．D．隨點的變化而變化.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案