Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，線段B₁D₁上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F且EF＝，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是    (　　)．

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱錐A-BEF的體積為定值

D．異面直線AE，BF所成的角為定值

Answer 1

D

∵AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁，D₁D.
∴AC⊥BE，故A正確．
∵B₁D₁∥平面ABCD，又E、F在直線D₁B₁上運(yùn)動(dòng)，
∴EF∥平面ABCD，故B正確．
C中由于點(diǎn)B到直線B₁D₁的距離不變，故△BEF的面積為定值，又點(diǎn)A到平面BEF的距離為，故V_A-BEF為定值．
當(dāng)點(diǎn)E在D₁處，點(diǎn)F為D₁B₁的中點(diǎn)時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F，

∴＝(0，－1,1)，＝，
∴·＝.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∴此時(shí)異面直線AE與BF成30°角．
②當(dāng)點(diǎn)E為D₁B₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在B₁處時(shí)，此時(shí)E，F(0,1,1)，
∴＝，＝(0,0,1)，
∴·＝1，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝≠，故選D.