Question

在單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=

2a 2 n

an+1-an

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知b_n=

3n-1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=

2a 2 n

an+1-an

，得

an+1

an

-2

an

an+1

=1，令t=

an+1

an

＞1，即可求得

an+1

an

=2．說(shuō)明數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得an=2n-1；
（2）把{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=

3n-1

an

，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=

2a 2 n

an+1-an

，得an+12-2an2=an+1an，
∴

an+1

an

-2

an

an+1

=1，令t=

an+1

an

＞1，
則t-

2

t

=1，解得：t=2．
即

an+1

an

=2．
則數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
則an=2n-1；
（2）b_n=

3n-1

an

=

3n-1

2n-1

，
則Tn=

2

20

+

5

21

+

8

22

+…+

3n-1

2n-1

．

1

2

Tn=

2

21

+

5

22

+…+

3n-1

2n

．
兩式作差得：

1

2

Tn=2+3(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

3n-1

2n

=2+3•

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n

=5-

3

2n-1

-

3n-1

2n

．
∴Tn=10-

3

2n-2

-

3n-1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．