Question

函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e為自然數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（II） 若對任意給定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)f^′（x），由f^′（x）的正負判斷函數(shù)的單調性；
（2）求出函數(shù)g（x）的導函數(shù)g^′（x），由g^′（x）的正負判斷函數(shù)的單調性并求出函數(shù)g（x）在（0，e]上的值域；當x=

2

2-a

 時，f^′（x）=0，故由題意得，0＜

2

2-a

＜e，即a＜2-

2

e

 ①，討論在（0，e]上的單調性，研究f（x）的最值，當且僅當a滿足下列條件：

f( 2 2-a )≤0             ② f(e)≥1                  ③

，由③式得a≤2-

3

e-1

  ④．綜合①④可知，當a∈(-∞，2-

3

e-1

]時，對任意給定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
f′(x)=2-a-

2

x

=

(2-a)x-2

x

（x＞0）
當a=2時，f^′（x）＜0，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
當a＞2時，f′(x)=-

(a-2)x+2

x

＜0，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
當a＜2時，f′(x)=

(2-a)(x- 2 2-a )

x

，故當x∈(0，

2

2-a

)時，f^′（x）＜0，此時f（x）為減函數(shù)；當x∈(

2

2-a

，+∞)時，f^′（x）＞0f（x）為增函數(shù)．
綜上，當a≥2時，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；當a＜2時，f（x）在(0，

2

2-a

)上是減函數(shù)，在(

2

2-a

，+∞)上是增函數(shù)．
（2）g^′（x）=e^1-x-xe^1-x=（1-x）e^1-x
當x∈（0，1）時，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調遞增；
當x∈（1，e]時，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調遞減．
又因為g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e^1-e＞0
所以，函數(shù)g（x）在（0，e]上的值域為（0，1]
f′(x)=2-a-

2

x

=

(2-a)x-2

x

=

(2-a)(x- 2 2-a )

x

，x∈（0，e]
當x=

2

2-a

 時，f^′（x）=0
故由題意得，f（x）在（0，e]上不單調．
∴0＜

2

2-a

＜e，即a＜2-

2

e

      ①
故當x∈(0，

2

2-a

)時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當x∈(

2

2-a

，e]時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴當x=

2

2-a

 時，函數(shù)f（x）取到極小值，也是最小值f(

2

2-a

)=a-2ln

2

2-a

，f（e）=（2-a）（e-1）-2
∴對任意給定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，當且僅當a滿足下列條件：

f( 2 2-a )≤0             ② f(e)≥1                  ③

，
即

a-2ln 2 2-a ≤0          ② (2-a)(e-1)-2≥1     ③

令h(a)=a-2ln

2

2-a

，a∈(-∞，2-

2

e

)
則h′(a)=1-

2

2-a

=

a

a-2

，令h^′（a）=0，解得a=0或a=2
故當a∈（-∞，0）時，h^′（a）＞0，函數(shù)h（a）單調遞增；當a∈(0，2-

2

e

)時，h^′（a）＜0，函數(shù)h（a）單調遞減．
∴對于任意的a∈(-∞，2-

2

e

)，有h（a）≤h（0）=0，即②對于任意的a∈(-∞，2-

2

e

)恒成立．
由③解得a≤2-

3

e-1

  ④
綜合①④可知，當a∈(-∞，2-

3

e-1

]時，對任意給定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．
故a的范圍是(-∞，2-

3

e-1

]

點評：本題主要考查了學生會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調性，會根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，能夠判斷不等式恒成立時所滿足的條件．