【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設， ，證明： ．

【答案】（1）（2） （3）見解析

【解析】試題分析：（1）本問考查導數(shù)的幾何意義， ， ，于是可得切線方程為；（2）本問考查利用導數(shù)研究恒成立問題，不等式恒成立，設函數(shù)，則轉化為當時， 恒成立，對函數(shù)求導， ，再令，對求導， ，通過對分區(qū)間討論，使得恒成立，從而得到的取值范圍；（3）首先通過微積分定理求出，則，由（2）知，當時， ，即，構造函數(shù)，通過證明該函數(shù)的單調性，易得出在上恒成立，令，于是通過不等式的放縮，可以得到待證明的結論.

試題解析：（1）， ，∴切線為

（2） ，令

則

又令

①當，即時， 恒成立，∴遞增

∴，∴，∴遞增

∴（不合題意）

②當即時， 遞減，

∴，∴，∴遞減

∴（符合題意）

③當，即時，由

，∴在上， ，使

且時， ，∴遞增，∴（不符合題意）

綜上： .

（3）

∴，由（2）知，當時， ，∴，

又令， ，∴遞減

即在上恒成立，令

∴原不等式

∴左式右式

∴得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分） 某中學的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該校所在區(qū)域空氣質量指數(shù)與空氣質量等級對應關系如下表（假設該區(qū)域空氣質量指數(shù)不會超過）：

空氣質量指數(shù)

空氣質量等級

級優(yōu)

級良

級輕度污染

級中度污染

級重度污染

級嚴重污染

該社團將該校區(qū)在年天的空氣質量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如下圖，把該直方圖所得頻率估計為概率．

（Ⅰ）請估算年（以天計算）全年空氣質量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計算)；

（Ⅱ）該校年月、日將作為高考考場，若這兩天中某天出現(xiàn)級重度污染，需要凈化空氣費用元，出現(xiàn)級嚴重污染，需要凈化空氣費用元，記這兩天凈化空氣總費用為元，求的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某幾何體的三視圖中，俯視圖是邊長為2的正三角形，正視圖和左視圖分別為直角梯形和直角三角形，則該幾何體的體積為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的通項公式為an= ﹣n．
（1）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）求此數(shù)列的前二十項和S20 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線x2=y+1上一定點A（﹣1，0）和兩動點P，Q，當PA⊥PQ時，點Q的橫坐標的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣3]
B.[1，+∞）
C.[﹣3，1]
D.（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，設不等式組 所表示的平面區(qū)域是W，從區(qū)域W中隨機取點M（x，y）．
（1）若x，y∈Z，求點M位于第一象限的概率；
（2）若x，y∈R，求|OM|≥1的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖（1）所示，已知四邊形是由直角△和直角梯形拼接而成的，其中

.且點為線段的中點， ， 現(xiàn)將△沿進行翻折，使得二面角

的大小為，得到圖形如圖（2）所示，連接，點分別在線段上.

（1）證明： ；

（2）若三棱錐的體積為四棱錐體積的，求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某同學用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）在某一個周期內的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據如表：

x

ωx+φ

0

π

2π

Asin（ωx+φ）

0

2

0

﹣2


（1）請將上表數(shù)據補全，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈[0， ]時，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;

(2)若,當時,求函數(shù)的最大值;

(3)若且,求證: .

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