Question

13．如圖，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分線AC交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CB，并延長(zhǎng)與直線PQ相交于點(diǎn)Q，若AQ=6，AC=5．
（Ⅰ）求證：QC²-QA²=BC•QC；
（Ⅱ）求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割線定理得：QA²=QB•QC=（QC-BC）•QC=QC²-BC•QC，即可證明QC²-QA²=BC•QC；
（Ⅱ）求出AC=BC=5，QC=9，由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，即可求弦AB的長(zhǎng)．

解答 （Ⅰ）證明：∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴由切割線定理得：QA²=QB•QC=（QC-BC）•QC=QC²-BC•QC．…（4分）
∴QC²-QA²=BC•QC．…（5分）
（Ⅱ）解：∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAC=∠CBA，
∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，
∴AC=BC=5，…（6分）
又知AQ=6，由（Ⅰ） 可知QA²=QB•QC=（QC-BC）•QC，
∴QC=9．…（8分）
由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{QA}{QC}$，…（9分）
∴$AB=\frac{10}{3}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查切割線定理，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．