Question

13．f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$的圖象與直線l：y=kx-1沒有公共點，則實數(shù)k的范圍為（　　）

• A． （0，1]
• B． [-1，1]
• C． （1-e，1]
• D． （1-e，1）

Answer 1

分析 f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$的圖象與直線l：y=kx-1沒有公共點，等價于關于x的方程x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1在R上沒有實數(shù)解，即為關于x的方程：（k-1）x=$\frac{1}{{e}^{x}}$，（*）在R上沒有實數(shù)解，分類討論即可求出k的范圍．

解答 解：f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$的圖象與直線l：y=kx-1沒有公共點等價于關于x的方程x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$=kx-1在R上沒有實數(shù)解，即關于x的方程：（k-1）x=$\frac{1}{{e}^{x}}$，（*）
在R上沒有實數(shù)解．
①當k=1時，方程（*）可化為$\frac{1}{{e}^{x}}$=0，在R上沒有實數(shù)解．
②當k≠1時，方程（*）化為$\frac{1}{k-1}$=xe^x．
令g（x）=xe^x，則有g′（x）=（1+x）xe^x．
令g′（x）=0，得x=-1，當x變化時，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）		-$\frac{1}{e}$

當x=-1時，g（x）_min=-$\frac{1}{e}$，同時當x趨于+∞時，g（x）趨于+∞，
從而g（x）的取值范圍為[-$\frac{1}{e}$，+∞）．
所以當$\frac{1}{k-1}$∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）時，方程（*）無實數(shù)解，解得k的取值范圍是（1-e，1）．
綜上所述k的取值范圍為（1-e，1]，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)導數(shù)和函數(shù)最值問題，以及求出函數(shù)有參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．