Question

【題目】已知橢圓：的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同， ，為橢圓的左、右焦點(diǎn)．為橢圓上任意一點(diǎn)，△面積的最大值為1．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線：交橢圓于，兩點(diǎn)．

（i）若直線與的斜率分別為，，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（ii）若直線的斜率時直線，斜率的等比中項(xiàng)，求△面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）（ii）

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)得，再結(jié)合橢圓幾何條件得當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時，△面積最大，此時，所以．（2）（i）證明直線過定點(diǎn)問題，一般方法以算代證，即求出直線方程，根據(jù)方程特征確定其過定點(diǎn)，本題關(guān)鍵求出之間關(guān)系即可得出直線過定點(diǎn)．由得，即，因此聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得；（ii）先分析條件：直線的斜率時直線，斜率的等比中項(xiàng)，即，，化簡得，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，這樣三角形面積可用m表示，其中高利用點(diǎn)到直線距離得到，底邊邊長利用弦長公式得到：，最后根據(jù)基本不等式求最值

試題解析：（1）由拋物線的方程得其焦點(diǎn)為，所以橢圓中，

當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時，△面積最大，此時，所以．

，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，△面積的最大值為1，

所以橢圓的方程為．

（2）聯(lián)立得，

，得（*）

設(shè)，，則，，

（i），，由，得，

所以，即，

得，

所以直線的方程為，因此直線恒過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為．

（ii）因?yàn)橹本�的斜率是直線，斜率的等比中項(xiàng)，所以，即，

得，得，所以，又，所以，

代入（*），得．

．

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，△面積取最大值．

故△面積的取值范圍為．