Question

已知F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為點Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線y=kx+m與曲線C相切于點M，且與直線x=-1相交于點N，試問：在x軸上是否存在一個定點E，使得以MN為直徑的圓恒過此定點E？若存在，求出定點E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出P點坐標(biāo)，求出向量

QP

，

QF

，

FP

，

FQ

，代入坐標(biāo)后直接得拋物線方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由判別式等于0得到m與k的關(guān)系，從而把M和N的坐標(biāo)用含有m的代數(shù)式表示，設(shè)出E點坐標(biāo)，由ME⊥NE代入坐標(biāo)整理即可得到E點坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點P（x，y），則Q（-1，y），由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，得
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化簡得y²=4x；
（Ⅱ）由

y=kx+m y2=4x

，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
由△=0，得km=1，從而有M（m²，2m），N(-1，-

1

m

+m)，
設(shè)點E（x，0），使得ME⊥NE，則(x-m2)(x+1)+(-2m)(

1

m

-m)=0．
（1-x）m²+x²+x-2=0，得x=1．
所以存在一個定點E（1，0）符合題意．

點評：本小題主要考查相關(guān)點法求軌跡方程和直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，一般離不開聯(lián)立方程組，所以要仔細(xì)運(yùn)算，該題是中檔題．