Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）已知x₁=（e為自然對數(shù)的底數(shù)）和x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的值并證明：x₂＞．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），并確定函數(shù)的定義域，再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可分別求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，進(jìn)而利用極值定義求得函數(shù)的極值，由于導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)a，故為解不等式的需要，需討論a的正負(fù)；
（II）將x₁=代入函數(shù)f（x），即可得a的值，再利用（I）中的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，證明函數(shù)的另一個(gè)零點(diǎn)x₂是在區(qū)間（，）上，即可證明結(jié)論
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=-a=．
①若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，無極值；
②若a＞0，令f′（x）=0，得x=．
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
∴當(dāng)x=時(shí)，f（x）有極大值，極大值為f（）=ln-1=-lna-1．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，），遞減區(qū)間為（，+∞），極大值為-lna-1
（Ⅱ）∵x₁=是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，
∴f （）=0，即-a=0，解得a==．
∴f（x）=lnx-x．
∵f（）=-＞0，f（）=-＜0，∴f（）•f（）＜0．
由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（，）上有唯一零點(diǎn)，
因此x₂＞．
點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)極值中的應(yīng)用，連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其應(yīng)用，分類討論的思想方法，屬中檔題