Question

已知函數f（x）=x²+ax+3，g（x）=（6+a）•2^x-1
（Ⅰ）若f（1）=f（3），求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，判斷函數F（x）=

2

1+g(x)

的單調性，并給出證明；
（Ⅲ）當x∈[-2，2]時，f（x）≥a（a∉（-4，4））恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由f（1）=f（3）計算即得a的值；
（Ⅱ）g（x）=2x，F（X）=

2

1+2x

，先判斷F（x）在R上是減函數，然后用定義證；
（Ⅲ）x∈[-2，2]時，f（x）≥a（a∉（-4，4））恒成立轉化為x²+ax+3-a≥0在x∈[-2，2]∉（-4，4）恒成立，令h（x）=x²+ax+3-a，求出h（x）在[-2，2]上的最小值，只需最小值不小于0．然后討論對稱軸和區(qū)間的關系，求出最小值，解出a的范圍，最后求并集．

解答： 解：（Ⅰ）因為函數f（x）=x²+ax+3，f（1）=f（3），
即1+a+3=9+3a+3，所以a=-4；
（Ⅱ）因為g（x）=2•2^x-1=2^x，
所以F（X）=

2

1+2x

在R上是減函數．
理由如下：設x1＜x2，
F（x₁）-F（x₂）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=2•

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

，
因為x1＜x2，所以2x1＜2x2⇒2x2-2x1＞0，
所以F（x₁）-F（x₂）＞0即F（x₁）＞F（x₂），
故F（X）=

2

1+2x

在R上是減函數．
（Ⅲ）x∈[-2，2]時，f（x）≥a（a∉（-4，4））恒成立
等價于x²+ax+3-a≥0在x∈[-2，2]∉（-4，4）恒成立，
令h（x）=x²+ax+3-a，x²+ax+3-a≥0恒成立?h（x）_min≥0，
因為h（x）圖象關于x=-

a

2

對稱，
又因為a∉（-4，4），所以-

a

2

∉(-2，2)，
①當-

a

2

≤-2即a≥4時，[-2，2]是增區(qū)間，故h（x）_min=h（-2）=7-3a≥0⇒a≤

7

3

，
又因為a≥4，所以a∈Φ；
②當-

a

2

≥2即a≤-4時，[-2，2]是減區(qū)間，故h（x）_min=h（2）=a+7≥0⇒a≥-7，
又因為a≤-4，所以-7≤a≤-4．
綜上a的取值范圍是-7≤a≤-4．
故實數a的最小值是-7．

點評：本題主要考查函數的單調性及其應用求最值，考查學生數形結合的能力和分類討論的思想方法．