Question

18．設F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P，Q分別為雙曲線左、右支上的點，若$\overrightarrow{Q{F_2}}$=2$\overrightarrow{P{F_1}}$，且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$═0，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{17}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 設P（x，y），Q（x₁，y₁），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由$\overrightarrow{Q{F_2}}$=2$\overrightarrow{P{F_1}}$，得x₁=3c+2x，y₁=2y…①
由$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$═0，得x²-c²+y²=0，②又$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，③由②③可得P（-$\frac{a}{c}\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{^{2}}{c}$），代入①得Q（3c-$\frac{2a\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}{c}$，$\frac{2^{2}}{c}$），將點Q坐標代入③得3c²+a²=4a$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，即可求解．

解答 解：設P（x，y），Q（x₁，y₁），∵F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴$\overrightarrow{Q{F_2}}$=（c-x₁，-y₁），$\overrightarrow{P{F_1}}$=（-c-x，-y）
∵$\overrightarrow{Q{F_2}}$=2$\overrightarrow{P{F_1}}$，∴（c-x₁，-y₁）=2（-c-x，-y），
∴c-x₁=2（-c-x），-y₁=-2y，
∴x₁=3c+2x，y₁=2y…①
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x+c，y），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（x-c，y），
∵$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$═0，∴x²-c²+y²=0，②
又∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，③
由②③可得P（-$\frac{a}{c}\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{^{2}}{c}$），代入①得Q（3c-$\frac{2a\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}{c}$，$\frac{2^{2}}{c}$）
將點Q坐標代入③得3c²+a²=4a$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，⇒
9c⁴-26a²c²+17a⁴=0⇒9e⁴-26e²+17=0⇒
e²=1（舍去），e²=$\frac{17}{9}$⇒e=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故選：B

點評 本題考查了雙曲線的離心率，轉化思想及運算能力是解題的關鍵，屬于難題．