Question

2．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2+2cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，若f（A）=4，b=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換公式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，由周期公式可得其最小正周期，進而由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)題意，由f（A）=4可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合A的范圍可得A=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得b=1，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入數(shù)據(jù)計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+2$\frac{1+cos2x}{2}$+2=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+3=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
其最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解可得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
單調(diào)遞減區(qū)間[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]k∈z；
（2）根據(jù)題意，若f（A）=4，則f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+3=4，
則sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又由0＜A＜π，
則有A=$\frac{π}{3}$；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，而b=1，
則c=2，
則a²=b²+c²-2bccosA=3，
故a=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)恒等變換的運用，解題的關(guān)鍵是正確化簡f（x）的解析式．