Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-9x的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（2）=15．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=3x²+2ax-9，（1分）
所以由f'（2）=15，得a=3，（3分）
則f（x）=x³+3x²-9x，f'（x）=3x²+6x-9．
所以f（0）=0，f'（0）=-9，（4分）
所以函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=-9x． （6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=-3或x=1． （7分）
當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與f'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	27	↘	-5	↗

（11分）
可知函數(shù)f（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞增，在（-3，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）有極大值27；當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值-5． （13分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，由f′（2）=15可得a=3，代入可得f（0）=0，f'（0）=-9，由點(diǎn)斜式可得直線的方程；（Ⅱ）令導(dǎo)數(shù)為0可得臨界點(diǎn)，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由極值的定義可得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線斜率和函數(shù)的極值問(wèn)題，屬中檔題．