Question

（2008•湖北模擬）已知函數(shù)f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinx•cosx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象按向量

a

=(m，0)平移，使得平移之后的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱，求m的最小正值．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)解析式第一項的第二個因式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，去括號合并后，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）得出的函數(shù)解析式，根據(jù)平移的規(guī)律及

a

的坐標(biāo)，找出平移后函數(shù)的解析式，根據(jù)平移后函數(shù)關(guān)于直線x=

π

2

對稱，把x=

π

2

代入函數(shù)解析式，并令其值等于kπ+

π

2

，化簡表示出m，可得出k=0時，m取得最小值，把k=0代入表示出的m即可求出m的最小值．

解答：解：（1）f（x）=2cosx•（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

sin²x+sinxcosx
=sinxcosx+

3

cos2x-

3

sin2x+sincosx
=sin2x+

3

cos2x（3分）
=2sin（2x+

π

3

），（4分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+

3

2

π，k∈Z，得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7

12

π，k∈Z（6分）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；（7分）
（2）由（1）得到函數(shù)y=2sin（2x+

π

3

），
此函數(shù)按向量

a

=(m，0)平移得到解析式為y=2sin（2x+

π

3

-2m），（8分）
∵y=2sin（2x+

π

3

-2m)的圖象關(guān)于直線x=

π

2

關(guān)于直線x=

π

2

對稱，
∴2•

π

2

+

π

3

-2m=kπ+

π

2

（k∈Z）
∴m=-

1

2

(k-1)π-

π

12

（k∈Z）（10分）
當(dāng)k=0時，m的最小正值為

5

12

π．（12分）

點(diǎn)評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換，以及平移的規(guī)律，涉及的知識有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與變換，以及正弦函數(shù)的對稱性，其中利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個角的三角函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．