已知橢圓C:上存在關(guān)于直線l:y=2x+m對(duì)稱的兩點(diǎn),試求m的取值范圍.
解法一:(設(shè)對(duì)稱直線,用韋達(dá)定理)設(shè)與直線l垂直且與橢圓C相交的直線l1的方程為y=n,代入橢圓C的方程,并整理得: 25x2-36nx+36n2-144=0 當(dāng)D =(36n)2-4×25×(36n2-144)>0 即-<n<時(shí),直線l1與橢圓C交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)兩點(diǎn).設(shè)線段PQ中點(diǎn)為M(x,y) 由韋達(dá)定理知:
所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,) 又∵ 點(diǎn)M在直線l上 ∴ ∴ m 故當(dāng),即-2<m<2時(shí),C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱 解法二:(巧設(shè)對(duì)稱點(diǎn),利用平方差)設(shè)橢圓C上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)為P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ中點(diǎn)為M(x0,y0). 則 、-②得: 4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0 ⑥ 將③、④代入⑥得: 8x0(x1-x2)+18y0(y1-y2)=0 即4x0(x1-x2)+9y0(y1-y2)=0 因?yàn)?/span>PQ⊥l,所以kPQ= 若x1=x2,則直線PQ的斜率不存在,與kPQ=矛盾. 故x1≠x2,則kPQ= 于是 解得9y0=8x0 、 由⑥、⑦得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,) 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi) 所以<1 解得m的取值范圍為-2<m<2. 解法三:(設(shè)對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱直線綜合求解)設(shè)與直線l垂直且與橢圓C相交的直線l1的方程為y=x+n,代入橢圓C的方程,整理得: 25x2-36nx+36n2-144=0 設(shè)l1與橢圓C相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ中點(diǎn)為M(x,y). 則x1+x2= y1+y2=-(x1+x2)+2n= 所以PQ的中點(diǎn)M(x,y)的軌跡的參數(shù)方程為: 消去參數(shù)n,得y= 由 求得直線y=與橢圓C:的交點(diǎn)為E、F. 所以點(diǎn)M的軌跡方程為 由 解得,代入,得. ∴ M點(diǎn)的坐標(biāo)為 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi) 所以 解得m的取值范圍是-2<m<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:數(shù)學(xué)教研室 題型:022
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
例
已知橢圓C:上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn),其中的距離的最小值為1.(1)請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo)(2)試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的直線,使與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足條件(O為原點(diǎn)),若存在,求出的方程,若不存在請(qǐng)說(shuō)是理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍;
(2)若直線l經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn),并且滿足=,求雙曲線C的方程.
(文)已知F1、F2分別為橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線l:y=2x+5與橢圓C交于兩點(diǎn)P1、P2,已知橢圓C的中心O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在橢圓C的左準(zhǔn)線上.
(1)求橢圓C的左準(zhǔn)線的方程;
(2)如果a2是與的等差中項(xiàng),求橢圓C的方程.
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