已知橢圓C上存在關(guān)于直線ly=2x+m對(duì)稱的兩點(diǎn),試求m的取值范圍.

 

答案:
解析:

解法一:(設(shè)對(duì)稱直線,用韋達(dá)定理)設(shè)與直線l垂直且與橢圓C相交的直線l1的方程為y=n,代入橢圓C的方程,并整理得:

  25x2-36nx+36n2-144=0

  當(dāng)D =(36n)2-4×25×(36n2-144)0

  即-n時(shí),直線l1與橢圓C交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)兩點(diǎn).設(shè)線段PQ中點(diǎn)為M(xy)

  由韋達(dá)定理知:

  

  

     

     

  所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)

  又∵ 點(diǎn)M在直線l

  ∴ 

  ∴ m

  故當(dāng),即-2m2時(shí),C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱

  解法二:(巧設(shè)對(duì)稱點(diǎn),利用平方差)設(shè)橢圓C上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)為P(x1,y1)、Q(x2y2),PQ中點(diǎn)為M(x0,y0)

  則

 、-②得:

  4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0   

  將③、④代入⑥得:

  8x0(x1-x2)+18y0(y1-y2)=0

  即4x0(x1-x2)+9y0(y1-y2)=0

  因?yàn)?/span>PQl,所以kPQ=

  若x1=x2,則直線PQ的斜率不存在,與kPQ=矛盾.

  故x1x2,則kPQ=

  于是

  解得9y0=8x0           、

  由⑥、⑦得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)

  因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi)

  所以1

解得m的取值范圍為-2m2

  解法三:(設(shè)對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱直線綜合求解)設(shè)與直線l垂直且與橢圓C相交的直線l1的方程為y=x+n,代入橢圓C的方程,整理得:

  25x2-36nx+36n2-144=0

  設(shè)l1與橢圓C相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ中點(diǎn)為M(x,y)

  則x1+x2=

  y1+y2=-(x1+x2)+2n=

  所以PQ的中點(diǎn)M(x,y)的軌跡的參數(shù)方程為:

  消去參數(shù)n,得y=

  由

  求得直線y=與橢圓C的交點(diǎn)為E、F

  所以點(diǎn)M的軌跡方程為

  由

  解得,代入,得

  ∴ M點(diǎn)的坐標(biāo)為

  因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi)

  所以

  解得m的取值范圍是-2m2

 


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已知橢圓C上存在關(guān)于直線ly=2x+m對(duì)稱的兩點(diǎn),試求m的取值范圍.

 

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(1)求橢圓C的左準(zhǔn)線的方程;

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