Question

（本小題滿分14分）下圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，平面，，且，

（1）求證：BE//平面PDA；

（2）若N為線段的中點，求證：平面；

（3）若，求平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明略；

（2）證明略；

（3）45°

【解析】（1）證明：∵，平面，平面

∴EC//平面,同理可得BC//平面----------------------------------------2分

∵EC平面EBC,BC平面EBC且 

∴平面//平面-----------------------------------------------------------------3分

又∵BE平面EBC   ∴BE//平面PDA-----------------------------------------------------4分

（2）證法1：連結(jié)AC與BD交于點F, 連結(jié)NF，

∵F為BD的中點，

∴且,--------------------------6分

又且

∴且

∴四邊形NFCE為平行四邊形-------------------------7分

∴

∵,平面,

面     ∴，

又

∴面     ∴面----------------------------------------9分

證法2：如圖以點D為坐標原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示：設(shè)該簡單組合體的底面邊長為1，

則,--------------------------------6分

∴,,

∵,，

∴---------------------------------8分

∵、面，且

∴面--------------------------------------------------------------------9分

（3）解法1：連結(jié)DN，由（2）知面

∴,  ∵，  ∴  ∴

∴為平面PBE的法向量，設(shè)，則  ∴=---11分

∵為平面ABCD的法向量，，---------------------------------------------12分

設(shè)平面PBE與平面ABCD所成的二面角為，

則------------------------------------------------13分

∴  即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°--------------------14分

解法2：延長PE與DC的延長線交于點G,連結(jié)GB，

則GB為平面PBE與ABCD的交線--------------------10分

∵   ∴

∴D、B、G在以C為圓心、以BC為半徑的圓上，

∴-------------------11分

∵平面,面 

∴且

∴面  ∵面 

∴

∴為平面PBE與平面ABCD所成的二面角的平面角----------------------------13分

在中       ∵

∴＝45°即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°----------------14分