Question

已知雙曲線x2-

y2

3

=1
（1）求此雙曲線的漸近線方程；
（2）若過點（2，3）的橢圓與此雙曲線有相同的焦點，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的標準方程可求得 a、b，可得漸近線方程．
（2）求出拋物線的焦點坐標，求出雙曲線的兩焦點坐標，即為橢圓的焦點坐標，即可得到c的值，然后根據(jù)橢圓的定義得到a，最后利用a，b，c的關系即可求出b的值，得到橢圓方程．

解答：解：（1）雙曲線方程為x2-

y2

3

=1，
由此得a=1，b=

3

，
所以漸近線方程為y=±

3

x．
（2）雙曲線中，c=

a2+b2

=

3+1

=2，焦點為（-2，0），（2，0）．
橢圓中，2a=

(2+2)2+(3-0)2

+

(2-2)2+(3-0)2

=8，
則a=4，b²=a²-c²=4²-2²=12．
所以，所求橢圓的標準方程為：

x2

16

+

y2

12

=1．

點評：此題考查學生掌握圓錐曲線的共同特征，會求橢圓的標準方程，是一道綜合題．本題還考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，利用條件求出a，b，c值，是解題的關鍵．