F（-c，0）是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點，P是拋物線y2=4cx上一點，直線FP與圓x2+y2=a2相切于點E，且PE=FE，若雙曲線的焦距為2
5
+2，則雙曲線的實軸長為（　　）
A．4B．2C．
20+4
5
5
D．
10+2
5
5
拋物線y2=4cx的焦點F2（c，0）
∵E為直線FP與以原點為圓心a為半徑的圓的切點，PE=EF
∴OE為直線FP的中垂線 （O為原點）
∴OP=OF=c
又FF2=2c，O為FF2中點，OP=c
∴∠FPF2=90°（直角三角形中，直角頂點與斜邊中點的連線長度為斜邊的一半）
根據(jù)△FEO∽△FPF2，可得
PF2
EO
=
FF2
FO
=
2c
c
=2
∵EO=a，∴PF2=2a
過F作x軸的垂線l，過P作PQ⊥l于Q，則PQ=PF2=2a 
又Rt△FPQ∽Rt△F2FQ，令PF=2x=2EF，∴
QP
PF
=
PF
FF2
，即
2a
2x
=
2x
2c
，即x2=ac=EF2
∴在Rt△FEO中，OF2=EF2+EO2，即c2=ac+a2
∵雙曲線的焦距為2
5
+2，
∴a2+（1+
5
）a-（1+
5
）2=0
∴a=
-(1+
5
)±(
5
+5)
2

∴a1=2，a2=-
5
-3 （舍）
∴實軸長為4
故選A．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點P（4，
15
），且雙曲線C的漸近線與圓x2+（y-3）2=4相切．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)F（c，0）是雙曲線C的右焦點，M（x0，y0）是雙曲線C的右支上的任意一點，試判斷以MF為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F（c，0）是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦點，若雙曲線C的漸近線與圓E：(x-c)2+y2=
1
2
c2相切，則雙曲線C的離心率為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•葫蘆島模擬）F（-c，0）是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點，P是拋物線y2=4cx上一點，直線FP與圓x2+y2=a2相切于點E，且PE=FE，若雙曲線的焦距為2
5
+2，則雙曲線的實軸長為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年云南省昆明市高三（上）摸底調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

已知F（c，0）是雙曲線的右焦點，若雙曲線C的漸近線與圓相切，則雙曲線C的離心率為    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河北省五校聯(lián)盟高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

F（-c，0）是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左焦點，P是拋物線y2=4cx上一點，直線FP與圓x2+y2=a2相切于點E，且PE=FE，若雙曲線的焦距為2+2，則雙曲線的實軸長為（ ）
A．4
B．2
C．
D．

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