橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點是一個含60°角的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為（　�。�
分析：由題意有可得tan30°=
3
3
=
b
c
，或tan30°=
3
3
=
c
b
，
當
3
3
=
b
c
時，由e=
c
a
=
3
b
a
=
3
a2-c2
a
，求出e的值，
當
3
3
=
c
b
時，由e=
c
a
=
3
3
a2-c2
a
，求得e的值．
解答：解：由于橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點，是一個含60°角的菱形的四個頂點，
則tan30°=
3
3
=
b
c
，或tan30°=
3
3
=
c
b
，
當
3
3
=
b
c
時，由e=
c
a
=
3
b
a
=
3
a2-c2
a
，
∴e2=3（1-e2），解得e=
3
2
．
當
3
3
=
c
b
時，由e=
c
a
=
3
3
a2-c2
a
，
∴e2=
1
3
（1-e2），解得e=
1
2
．
綜上，e=
1
2
，或e=
3
2
．
故選：A．
點評：本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題意得到
3
3
=
b
c
，或
3
3
=
c
b
，是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若橢圓C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關(guān)于直線y=x+1對稱，求實數(shù)b的取值范圍？
（3）如圖：直線y=x與兩個“相似橢圓”M：
x2
a2
+
y2
b2
=1和Mλ：
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•徐匯區(qū)三模）定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若橢圓C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關(guān)于直線y=x+1對稱，求實數(shù)b的取值范圍？
（3）如圖：直線l與兩個“相似橢圓”
x2
a2
+
y2
b2
=1和
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點A，B和點C，D，證明：|AC|=|BD|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年黑龍江省高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理） 題型：填空題

1.         若橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點是有一個內(nèi)角為的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為          ．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年黑龍江省高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文） 題型：填空題

橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點是有一個內(nèi)角為的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為          ．

 

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