Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-a）²，
（I）證明：a＜3是函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞減的必要而不充分的條件；
（II）若x∈[0，|a|+1]時(shí)，f（x）＜2a²恒成立，且f（0）=0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞減的充要條件，
f（x）在區(qū)間（1，2）上遞減?f'（x）=3x²-4ax+a²≤0在區(qū)間（1，2）上恒成立，處理二次不等式恒成立問(wèn)題可用實(shí)根分布求解．
（II）x∈[0，|a|+1]時(shí)，f（x）＜2a²恒成立?f（x）_max＜2a²，x∈[0，|a|+1]，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答：解：（I）∵f（x）在區(qū)間（1，2）上遞減，
∴其導(dǎo)函數(shù)f'（x）=3x²-4ax+a²≤0在區(qū)間（1，2）上恒成立．
∴

f′(1)≤0 f′(2)≤0

?

a2-4a+3≤0 a2-8a+12≤0

?

1≤a≤3 2≤a≤6

?2≤a≤3?a≤3
故a≤3是函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞減的必要而不充分的條件
解法二：f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a）≤0在區(qū)間（1，2）上恒成立，
∴a只能大于0，∴

a

3

＜x＜a，∴

a 3 ≤ 1 a≥2

∴2≤a≤3?a≤3
故a≤3是函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上遞減的必要而不充分的條件
（II）∵f（x）=x（x-a）²f′(x)=3(x-a)(x-

a

3

)
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（-∞，

a

3

）上遞增，
在(

a

3

，a)上遞減，在(

a

3

，+∞)上遞增，
故有

f( a 3 )＜2a2 f(a+1)＜2a2

?1＜a＜

27

2

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在(

a

3

，+∞)上遞增，
∴只要f（1-a）＜2a²?4a³-6a²+5a-1＞0
令g（a）=4a³-6a²+5a-1，
則g′(a)=12a2-12a+5=12(a-

1

2

)2+2＞0
所以g（a）在（-∞，0）上遞增，
又g（0）=-1＜0∴f（1-a）＜2a²不能恒成立
故所求的a的取值范圍為1＜a＜

27

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍問(wèn)題和不等式恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)分類討論和化歸思想．