Question

已知函數(shù)f（x）=ax--61nx在x=2處取得極值．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）g（x）=（x-3）e^x-m（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若對任意x₁∈（0，2），x₂∈[2，3]，總有f（x₁）-g（x₂）≤0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
求導函數(shù)可得
∵函數(shù)f（x）=ax--61nx在x=2處取得極值，
∴f′（2）=0，即=0，∴a=2
當a=2時，
x∈（1，2）時，f′（x）＜0；x∈（2，+∞），f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，∴a=2；
（2）由（1）知，
∴當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上是減函數(shù)
∴f（x）在（0，2）上的最大值為f（1）=-2
∵g（x）=（x-3）e^x-m，∴g′（x）=（x-2）e^x≥0在[2，3]上恒成立
∴g（x）在[2，3]上單調遞增，其值域為[-e²-m，-m]
∵對任意x₁∈（0，2），x₂∈[2，3]，總有f（x₁）-g（x₂）≤0成立，
∴f（x）_max≤g（x）_min，
∴-2≤-e²-m
∴m≤2-e²．
分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，利用極值的定義，即可求實數(shù)a的值；
（2）對任意x₁∈（0，2），x₂∈[2，3]，總有f（x₁）-g（x₂）≤0成立，等價于f（x）_max≤g（x）_min，求出最值，即可得到結論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，對任意x₁∈（0，2），x₂∈[2，3]，總有f（x₁）-g（x₂）≤0成立，轉化為f（x）_max≤g（x）_min，是解題的關鍵．