Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

4

=1，求以點(diǎn)P（2，-1）為中點(diǎn)的弦AB所在的直線(xiàn)方程．

Answer 1

分析：先設(shè)出弦所在的直線(xiàn)方程，然后與橢圓方程聯(lián)立；設(shè)兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)求出x₁+x₂，進(jìn)而求得弦所在的直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式求得該直線(xiàn)的方程．

解答：解：設(shè)弦AB所在的直線(xiàn)方程為y-（-1）=k（x-2），即y=kx-2k-1．
由

y=kx-2k-1 x2 16 + y2 4 =1

，消去y得x²+4（kx-2k-1）²-16=0，
整理得（1+4k²）x²-8k（2k+1）x+4（2k+1）²-16=0（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以有x1+x2=

8k(2k+1)

1+4k2

．
因?yàn)镻（2，-1）為弦AB中點(diǎn)，
所以x1+x2=4，即

8k(2k+1)

1+4k2

=4，解得k=

1

2

．
代入方程（1），驗(yàn)證△＞0，合題意．
所以弦AB所在直線(xiàn)的方程為y=

1

2

x-2，即x-2y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線(xiàn)與橢圓的關(guān)系．在解決弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，將弦所在直線(xiàn)的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問(wèn)題的目的．