【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)是否存在極值,若存在,請求出極值;若不存在,請說明
理由;
(3)當(dāng)時.證明: .
【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為, 的單調(diào)減區(qū)間為;(2)時, 無極值, 時, 有極大值,無極小值.
【解析】試題解析:
(1)求得導(dǎo)數(shù),由不等式得增區(qū)間,由不等式得減區(qū)間;(2)求出導(dǎo)函數(shù),確定的解及在解的兩側(cè)的正負,當(dāng)時, , 無零點,函數(shù)無極值點,當(dāng)時, 在上有一解,且在此解的兩側(cè), 的符號相反,因此有極值點,可得極值;(3)不等式即為,因此只要求得的最小值且大于2即可.本題最小值不能直接求得,只有用估計值,由得,從而有,可證其大于2.
試題解析:
(1) .令,即,得,
故的增區(qū)間為;令,即,得,
故的減區(qū)間為;∴的單調(diào)增區(qū)間為, 的單調(diào)減區(qū)間為.
(2)
當(dāng)時,恒有∴在上為增函數(shù), 故在上無極值;
當(dāng)時,令,得 單調(diào)遞增,
單調(diào)遞減.∴, 無極小值;
綜上所述: 時, 無極值, 時, 有極大值,無極小值.
(Ⅲ)證明:設(shè)則即證,只要證
∵∴,
又在上單調(diào)遞增
∴方程有唯一的實根,且.
∵當(dāng)時, .當(dāng)時,
∴當(dāng)時,
∵即,則 ∴
∴原命題得證.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、,離心率,點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點,線段的垂直平分線與軸交于點,求點的橫坐標(biāo)的取值范圍;
(3)在第(2)問的條件下,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知長方形ABCD中,AB=1,AD=,F(xiàn)將長方形沿對角線BD折起,使AC=a,得到一個四面體ABCD,如圖所示.
(1)試問:在折疊的過程中,異面直線AB與CD,AD與BC能否垂直?若能垂直,求出相應(yīng)的a值;若不垂直,請說明理由.
(2)當(dāng)四面體ABCD的體積最大時,求二面角ACDB的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】葫蘆島市某工廠黨委為了研究手機對年輕職工工作和生活的影響情況做了一項調(diào)查:在廠內(nèi)用簡單隨機抽樣方法抽取了30名25歲至35歲的職工,對其“每十天累計看手機時間”(單位:小時)進行調(diào)查,得到莖葉圖如下.所抽取的男職工“每十天累計看手機時間”的平均值和所抽取的女生 “每十天累計看手機時間”的中位數(shù)分別是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)教師對所任教的兩個班級各抽取20名學(xué)生進行測試,分數(shù)分布如表:
(1)若成績120分以上(含120分)為優(yōu)秀,求從乙班參加測試的90分以上(含90分)的同學(xué)中,隨機任取2名同學(xué),恰有1人為優(yōu)秀的概率;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表:在犯錯概率小于的前提下,你是否有足夠的把握認為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與班級有關(guān)系?
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
,其中.
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【題目】為了解學(xué)生身高情況,某校以的比例對全校1000名學(xué)生按性別進行分層抽樣調(diào)查,已知男女比例為,測得男生身高情況的頻率分布直方圖(如圖所示):
(1)計算所抽取的男生人數(shù),并估計男生身高的中位數(shù)(保留兩位小數(shù));
(2)從樣本中身高在之間的男生中任選2人,求至少有1人身高在之間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次猜獎游戲中,1,2,3,4四扇門里擺放了, , , 四件獎品(每扇門里僅放一件).甲同學(xué)說:1號門里是,3號門里是;乙同學(xué)說:2號門里是,3號門里是;丙同學(xué)說:4號門里是,2號門里是;丁同學(xué)說:4號門里是,3號門里是.如果他們每人都猜對了一半,那么4號門里是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班50人進行了問卷調(diào)查得到了如下列表:
喜愛打籃球 | 不喜愛打籃球 | 合計 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計 | 50 |
已知在全班50人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為.
(1)請將上表補充完整(不用寫計算過程);
(2)能否有99.5%的把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)?說明你的理由.
下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式: ,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)當(dāng)時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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