Question

(本小題滿(mǎn)分13分)

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=，AD=，EF=2.

（Ⅰ）求證： AE∥平面DCF；

（Ⅱ）若，且二面角A—EF—C的大小為，求的長(zhǎng)。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明見(jiàn)解析。

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）∵ 四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC  ．  ……    1分

又∵ BE∥CF ， AB∩BE=B，

∴平面ABE∥平面DCF ……   3分

又AE平面ABE，

∴AE∥平面DCF………   5分

（II）過(guò)E作GE⊥CF交CF于G，

由已知  EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，

∴EG=AD＝，又EF=2，∴GF=1…6分

∵四邊形ABCD是矩形， ∴DC⊥BC ．

∵∠BCF=，　∴FC⊥BC，

又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，

∴FC⊥平面AC ， ∴FC⊥CD ．                   …………7分

 分別以CB、CD、CF為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∵BE=1，，∴ A（，，0）,E(，0，1),F(0，0，2)，

∴=(0，- ，1)，=（-,0,1）．   …………8分

設(shè)平面AEF的法向量=(x，y，z)，

得，∴ =( ，， )．   ……10分

又=（0，，0）是平面CEF的一個(gè)法向量,

 ∴     ,即，得=．

∴當(dāng)的值為時(shí)，二面角A—EF—C的大小為   …13分