Question

（2013•鐵嶺模擬）已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
（I）若f（x）能表示成一個(gè)奇函數(shù)g（x）和一個(gè)偶函數(shù)h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（II）命題P：函數(shù)f（x）在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)；命題Q：函數(shù)g（x）是減函數(shù)．如果命題P、Q有且僅有一個(gè)是真命題，求a的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，比較f（2）與3-lg2的大�。�

Answer 1

分析：（I）設(shè)f（x）=g（x）+h（x），利用函數(shù)的奇偶性，組成方程組，即可求得函數(shù)的解析式；
（II）將函數(shù)f（x）配方，利用函數(shù)在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)，可得命題P為真的條件；利用函數(shù)g（x）=（a+1）x是減函數(shù)，可得命題Q為真的條件，從而可求命題P、Q有且僅有一個(gè)是真命題，a的取值范圍；
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6，確定函數(shù)v（a）=2a+lg（a+2）+6，在區(qū)間[-

3

2

，+∞)上為增函數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）
∴

g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2| -g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2|

解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|；
（II）∵函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|=(x+

a+1

2

)2-

(a+1)2

4

+lg|a+2|在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)，
∴(a+1)2≥-

a+1

2

，解得a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2
又由函數(shù)g（x）=（a+1）x是減函數(shù)，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
∴命題P為真的條件是：a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2，命題Q為真的條件是：a＜-1且a≠-2．
又∵命題P、Q有且僅有一個(gè)是真命題，
∴a＞-

3

2

（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6
∵a＞-

3

2

，∴f（2）=2a+lg（a+2）+6
設(shè)函數(shù)v（a）=2a+lg（a+2）+6，v′（a）=2+

1

(a+2)ln10

＞0．
∴函數(shù)v（a）在區(qū)間[-

3

2

，+∞)上為增函數(shù)．
又∵v(-

3

2

)=3-lg2，∴當(dāng)a＞-

3

2

時(shí)，v（a）＞v(-

3

2

)，即f（2）＞3-lg2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查大小比較，正確運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．