Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函數(shù)，g（x）=x-a

x

在（0，1）上是減函數(shù)．
（1）求f（x）、g（x）的表達(dá)式；
（2）試判斷關(guān)于x的方程

1

2

f（x）=g（x）+2在（0，+∞）根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x）=2x-

a

x

，由已知條件即知2x-

a

x

≥0在（1，2]上恒成立，從而能求出a≤2，同樣的辦法求g′（x），可以得到a≥2，所以便得到a=2，這樣便能得到f（x），g（x）的解析式；
（2）設(shè)h（x）=

1

2

f(x)-g(x)-2=

1

2

x2-lnx-x+2

x

-2，根據(jù)題意要求原方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，只要求函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．可通過(guò)求h′（x），能夠判斷出x=1時(shí)h（x）取最小值，并且求出h（1）判斷h（1）的符號(hào)：h（1）=-

1

2

＜0，所以便可得到函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，所以原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

解答： 解：（1）由f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，得：
在（1，2]上，f′（x）=2x-

a

x

≥0；
即在（1，2]上a≤2x²恒成立；
∵2x²＞2；
∴a≤2；
g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，可得：
在（0，1）上，g′（x）=1-

a

2 x

≤0；
即a≥2

x

；
∵2

x

＜2；
∴a≥2；
綜合可得，a=2，函數(shù)f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

；
（2）令h（x）=

1

2

f（x）-g（x）-2=

1

2

x²-lnx-x+2

x

-2，本題即求函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
h′（x）=x-

1

x

-1+

1

x

=

x ( x -1)

x x

；
∴x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0；x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值為h（1）=-

1

2

＜0；
因此函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即原方程有2個(gè)根．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的范圍，函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及函數(shù)零點(diǎn)和對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系，以及根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)最值的方法．