Question

已知函數(shù)f（x）=|3x-1|+|ax-1|（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈R，都有f（x）≥f（

1

3

），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，分類討論求得不等式f（x）≥4的解集．
（Ⅱ）分當(dāng)a＞3時(shí)、當(dāng)0＜a≤3時(shí)兩種情況，分別利用f（x）的單調(diào)性，根據(jù)f（x）≥f（

1

3

）恒成立，分別求得a的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=|3x-1|+|2x-1|=

5x-2，x≥ 1 2 x， 1 3 ＜x＜ 1 2 -5x+2，x≤ 1 3

，
當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，由f（x）=5x-2≥4，得x≥

6

5

；
當(dāng)

1

3

＜x＜

1

2

時(shí)，由f（x）=x≥4，無解；
當(dāng)x≤

1

3

時(shí)，由f（x）=-5x+2≥4，解得x≤-

2

5

；
綜上可知，f（x）≥4的解集為{x|x≥

6

5

或x≤-

2

5

}．
（Ⅱ）當(dāng)a＞3時(shí)，f(x)=|3x-1|+|ax-1|=

-(a+3)x+2，x≤ 1 a (a-3)x， 1 a ＜x＜ 1 3 (a+3)x-2，x≥ 1 3

，
故f（x）在區(qū)間(-∞，

1

a

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

1

a

，+∞)上單調(diào)遞增．
故f(x)≥f(

1

a

)，與題意不符．
當(dāng)0＜a≤3時(shí)，f(x)=|3x-1|+|ax-1|=

-(a+3)x+2，x≤ 1 3 (3-a)x， 1 3 ＜x＜ 1 a (a+3)x-2，x≥ 1 a

，
故f（x）在區(qū)間(-∞，

1

3

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

1

3

，+∞)單調(diào)遞增，故有 f(x)≥f(

1

3

)，
綜上可知，a的取值范圍為（0，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．