Question

已知直線(xiàn)l：2x+y+2=0與橢圓C：x²+=1交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，則使△PAB的面積S為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出P₁的坐標(biāo)，表示出四邊形P₁AOB面積S利用兩角和公式整理后．利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值，進(jìn)而求得△P₁AB的最大值，利用-1＜判斷出點(diǎn)P不可能在直線(xiàn)AB的下方，進(jìn)而推斷出在直線(xiàn)AB的上方有兩個(gè)點(diǎn)P，得到正確的選項(xiàng)．
解答：解：設(shè)P₁（cosα，2sinα）（π＜α＜），即點(diǎn)P₁在第三象限的橢圓上，
考慮四邊形P₁AOB面積S，
可得：S=S_△OAP1+S_△OBP1=×1×（-2sinα）+×2×（-cosα）=-（sinα+cosα）=-sin（α+），
∴S_max=，
∵S_△OAB=×1×2=1為定值，
∴S_△P1AB的最大值為-1＜，
∴點(diǎn)P不可能在直線(xiàn)AB的下方，顯然在直線(xiàn)AB的上方有兩個(gè)點(diǎn)P．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同時(shí)鍛煉了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．