【題目】已知點，，點為曲線上任意一點且滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）設曲線與軸交于、兩點，點是曲線上異于、的任意一點，直線、分別交直線于點、.試問在軸上是否存在一個定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）存在，其坐標為

【解析】

（1）設點P（x，y），由條件列出方程，化簡得出方程；

（2）根據(jù)題意求出M、N的坐標，表示出直線MR、NR的直線方程，表示出F、G兩點，假設存在定點S(0,m)，利用求出m即可.

解：（1）設，由，

得，

整理得.

所以曲線的方程為.

（2）由題意得，，.

設點，由點在曲線上，

所以.

直線的方程為，

所以直線與直線的交點為.

直線的方程為，

所以直線與直線的交點為.

假設存在點，使得成立，

則.

即，

整理得.

因為，

所以，

解得.

所以存在點使得成立，

點的坐標為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若關于的方程只有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解高一學生暑假里在家讀書情況，特隨機調(diào)查了50名男生和50名女生平均每天的閱讀時間（單位：分鐘），統(tǒng)計如下表：

（1）根據(jù)統(tǒng)計表判斷男生和女生誰的平均讀書時間更長？并說明理由；

（2）求100名學生每天讀書時間的平均數(shù)，并將每天平均時間超過和不超過平均數(shù)的人數(shù)填入下列的列聯(lián)表：

（3）根據(jù)（2）中列聯(lián)表，能否有99%的把握認為“平均閱讀時間超過或不超過平均數(shù)是否與性別有關？”

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某運動員每次射擊命中不低于8環(huán)的概率為，命中8環(huán)以下的概率為，現(xiàn)用隨機模擬的方法估計該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán)，一次命中8環(huán)以下的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8環(huán)，6、7、8、9表示命中8環(huán)以下，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：

據(jù)此估計，該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán)，一次命中8環(huán)以下的概率為（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生性別與愛好某項運動是否有關，通過隨機調(diào)查200名高中生是否愛好某項運動，利用列聯(lián)表，由計算可得，參照下表：

0.01

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5,024

6.635

7.879

10.828

得到的正確結(jié)論是（ ）

A. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

B. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

C. 在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”

D. 在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過橢圓： 的兩個焦點和兩個頂點，點， ， 是橢圓上的兩點，它們在軸兩側(cè)，且的平分線在軸上， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：直線過定點.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直線過定點.

【解析】【試題分析】(I)根據(jù)圓的半徑和已知 ,故,由此求得橢圓方程.(II)設出直線的方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,寫出韋達定理,寫出的斜率并相加,由此求得直線過定點.

【試題解析】

（Ⅰ）圓與軸交點即為橢圓的焦點，圓與軸交點即為橢圓的上下兩頂點，所以， .從而，

因此橢圓的方程為： .

（Ⅱ）設直線的方程為.

由，消去得.

設， ，則， .

直線的斜率 ；

直線的斜率 .

.

由的平分線在軸上，得.又因為，所以，

所以.

因此，直線過定點.

[點睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關系,考查直線與圓錐曲線位置關系. 涉及直線與橢圓的基本題型有：（1）位置關系的判斷.（2）弦長、弦中點問題.（3）軌跡問題.（4）定值、最值及參數(shù)范圍問題.（5）存在性問題.常用思想方法和技巧有：（1）設而不求.（2）坐標法.（3）根與系數(shù)關系.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為 .

（Ⅰ） 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；

（ Ⅱ ） 設直線 與軸和軸的交點分別為，為圓上的任意一點，求的取值范圍.

【答案】(1);.

(2).

【解析】【試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫出圓的參數(shù)方程,將圓的極坐標方程展開后化簡得直角坐標方程.(II)求得兩點的坐標, 設點，代入向量,利用三角函數(shù)的值域來求得取值范圍.

【試題解析】

（Ⅰ）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

直線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）由直線的方程可得點，點.

設點，則 .

.

由（Ⅰ）知，則 .

因為，所以.

【題型】解答題
【結(jié)束】
23

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若對于任意， 都滿足，求的值；

（Ⅱ）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值.

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅱ）當時， ；當時， .

【解析】【試題分析】(I)利用的二階導數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此可知.利用導數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.

【試題解析】

（Ⅰ），

設 ，則.

∵， ，∴在上單調(diào)遞增，

從而得在上單調(diào)遞增，又∵，

∴當時， ，當時， ，

因此， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由此可知.

∵， ，

∴.

設，

則 .

∵當時， ，∴在上單調(diào)遞增.

又∵，∴當時， ；當時， .

①當時， ，即，這時， ；

②當時， ，即，這時， .

綜上， 在上的最大值為：當時， ；

當時， .

[點睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為 .

（Ⅰ） 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；

（ Ⅱ ） 設直線 與軸和軸的交點分別為，為圓上的任意一點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拋物線的焦點為，點，為拋物線上一點，且不在直線上，則周長的最小值為____．

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同步練習冊答案