Question

已知定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=x²-af(x)，h(x)=x-a，且g(x)在x=1處取得極值，
（Ⅰ）求函數(shù)g(x)在x=2處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）把h(x)對應(yīng)的曲線C₁向上平移6個單位后得到曲線C₂，求C₂與g(x)對應(yīng)曲線C₃的交點個數(shù)，并說明理由。

Answer 1

解：（1），，
∴a=2，經(jīng)檢驗a=2成立，
又，
∴，即3x-y-2-2ln2=0。
（2），定義域[0，+∞)，
，
令，得x＞1；令，得0＜x＜1，
∴函數(shù)h(x)單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）；
（3）由（1）知，定義域[0，+∞)，
∴C₂對應(yīng)的表達式為，
問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)與圖象交點個數(shù)問題，
故只需求方程，即根的個數(shù)，
設(shè)，
，
當(dāng)x∈（0，4），，為減函數(shù)；當(dāng)，，為增函數(shù)，
而，圖象是開口向下的拋物線，
作出函數(shù)的圖象，，
而可知交點個數(shù)為2個，
即曲線C₂與C₃的交點個數(shù)為2個。