Question

已知函數(shù)y=f（x）對于任意正實(shí)數(shù)x，y有f（xy）=f（x）f（y），且x＞1時，f（x）＜1，f（2）=

1

9

（1）求證：f（x）＞0；
（2）求證：y=f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可將x，y都換為

x

即得f（x）=f（

x

）f（

x

），由于f（2）=

1

9

，故f（x）＞0成立；
（2）可令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，根據(jù)x＞1時，f（x）＜1，得f（

x2

x1

）＜1，再根據(jù)f（xy）=f（x）f（y），得到f（x₁）＞f（x₂），然后由單調(diào)性的定義即可證到．

解答： （1）證明：∵任意正實(shí)數(shù)x，y有f（xy）=f（x）f（y），
∴將x，y均換為

x

，有f（

x

•

x

）=f（

x

）f（

x

），
即f（x）=f²（

x

）≥0，但f（2）=

1

9

，
∴f（x）＞0；
（2）證明：令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
∵x＞1時，f（x）＜1，
∴f（

x2

x1

）＜1，
∵任意正實(shí)數(shù)x，y有f（xy）=f（x）f（y），
即f（x）=

f(xy)

f(y)

，
∴f（

x2

x1

）=

f(x2)

f(x1)

，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴y=f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，解決抽象函數(shù)常用方法：賦值法，注意準(zhǔn)確賦值是解題的關(guān)鍵，同時考查證明函數(shù)的單調(diào)性的方法：定義法，注意條件的反復(fù)運(yùn)用．