Question

10．系統(tǒng)內(nèi)有2k-1（k∈N^*）個(gè)元件，每個(gè)元件正常工作的概率為p（0＜p＜1），若有超過一半的元件正常工作，則系統(tǒng)正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率p_k，并討論p_k的單調(diào)性．

Answer 1

分析 由題意，p_k=$\sum_{n=0}^{k-1}$C_2k-1ⁿ（1-p）ⁿp^2k-1-n，利用C_2k+1ⁿ=C_2k-1ⁿ+2C_2k-1^n-1+C_2k-1^n-2，可得p_k+1=p_k+C_2k-1^k（1-p）^kp^k（2p-1），即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，p_k=$\sum_{n=0}^{k-1}$C_2k-1ⁿ（1-p）ⁿp^2k-1-n，
∵C_2k+1ⁿ=C_2k-1ⁿ+2C_2k-1^n-1+C_2k-1^n-2，
∴p_k+1=$\sum_{n=0}^{k}$C_2k+1ⁿ（1-p）ⁿp^2k+1-n
=$\sum_{n=0}^{k}$（C_2k-1ⁿ+2C_2k-1^n-1+C_2k-1^n-2）（1-p）ⁿp^2k+1-n
=$\sum_{n=0}^{k-1}$C_2k-1ⁿ（1-p）ⁿp^2k-1-n+C_2k-1^k（1-p）^kp^k[p-（1-p）]
=p_k+C_2k-1^k（1-p）^kp^k（2p-1）
∴p＞$\frac{1}{2}$，p_k遞增，p＜$\frac{1}{2}$，p_k遞減，p=$\frac{1}{2}$，p_k不變．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定p_k+1=p_k+C_2k-1^k（1-p）^kp^k（2p-1）是關(guān)鍵．